Polinomlar

A. TANIM
n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, … , an – 1, an birer gerçel sayı
olmak üzere,
P(x) = a0 + a1x + a2×2 + … + an – 1xn – 1+anxn
biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı
n. dereceden polinom (çok terimli) denir.
B. TEMEL KAVRAMLAR
P(x) = a0 + a1x + a2×2 + … + an – 1xn – 1+anxn
olmak üzere,
Ü a0, a1, a2, … , an–1, an in her birine polinomun terimlerinin
katsayıları denir.
Ü a0, a1x, a2×2, … , an–1xn – 1, anxn in her birine polinomun
terimleri denir.
Ü Polinomun terimlerinden biri olan a2×2 teriminde x in kuvveti olan
2 ye bu terimin derecesi denir.
Ü Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan
terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de
polinomun derecesi denir ve
der [p(x)] ile gösterilir.

Ü Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir.
Ü a0 = a1 = a2 = … = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır
polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.
Ü a0 ¹ 0 ve a1 = a2 = a3 = … an – 1 = an = 0 ise, P(x) polinomuna
sabit polinom denir. Sabit polinomunun derecesi sıfırdır.
Her polinom bir fonksiyondur. Fakat her fonksiyon polinom
olmayabilir.
Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır.
C. ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR
P(x, y) = 3xy2 – 2×2y – x + 1
biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda
aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına
polinomun derecesi denir.
D. POLİNOMLARDA EŞİTLİK
Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin
katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.
Ü P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir.
Ü P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır.
Herhangi bir polinomda; kat sayılar toplamı bulunurken o polinomda
değişkenler yerine 1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda
değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır.
P(ax + b) polinomunun; kat sayıları toplamı
P(a + b) ve sabit terimi P(b) dir.
Ü P(x) polinomunun;
Çift
dereceli terimlerinin kat sayıları toplamı: [Linkleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]
dır.
Tek dereceli terimlerinin kat
sayıları toplamı: [Linkleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]
dır.
E. POLİNOMLARDA İŞLEMLER

1. Toplama ve Çıkarma
P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + …
Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + …
olmak üzere,
P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 + …
P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 + …
olur.
2. Çarpma
İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir
terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına
eşittir.
3. Bölme
der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere,
[Linkleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]

P(x) : Bölünen polinom
Q(x) : Bölen
polinom
B(x) : Bölüm polinom
K(x) : Kalan polinomdur.
Ü P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)
Ü der [K(x)] < der [Q(x)]
Ü K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür.
Ü der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]
Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde
yapılır.
Bunun için;
1) Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre
sıralanır.
2) Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine
bölünür.
3) Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak,
aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun
altına yazılır.
4) Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır. Fark polinomuna da
aynı işlem uygulanır.
5) Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun
derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.
F. KALAN POLİNOMUN BULUNMASI
Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden
biri ile bulabiliriz.
1. Bölen Birinci Dereceden İse
Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda
değişken yerine [Linkleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]
yazılır.
P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir.

P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan
[Linkleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]
dir.
. Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa

Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan
kökler polinomda yazılarak kalan bulunur.
P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve
bölüm polinom Q(x) ise,
P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur.
P(b) = mb + n … (1)
P(c) = mc + n … (2)
(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur.
Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n –
1) dir.
3. Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa
Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla
uygulanarak kalan polinom bulunur.
1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin
eşiti bulunur.
2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır.
• P(x) polinomunun ax2 + bx + c ile bölümünden kalanı bulmak için
P(x) polinomunda x2 yerine yazılır.
4. P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n Î N+, n > 1)
[Linkleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]

P’(x) : P(x) polinomunun 1. türevidir.)
P(x)
= axn + bxm + d ise,
Pı(x) = a . nxn–1 + b . mxm–1 + 0
Pıı(x) = a . n . (n – 1)xn–2 + b . m(m –1).xm–2 dir.
P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve
kalan k1, Q(x) polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k2 ise,
P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalan
K(x) = (x – a) k2 + k1 olur.

G. BASİT KESİRLERE AYIRMA
a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,
eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur.
[Linkleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]

eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının
kökü bulunur.
[Linkleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]

Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın
paydası atılarak elde edilen [Linkleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]
de yazılır.
Aynı işlemler B için de
yapılır. Buna göre,
[Linkleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]
dir.
DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER

m > n olmak üzere,
der[P(x)] = m
der[Q(x)] = n olsun.
Buna göre,
1) der[P(x) ± Q(x)] = m dir.
2) der[P(x) . Q(x)] = m + n dir.
3) P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm polinomu B(x) ise,
der[B(x)] = m – n dir.
4) k Î N+ için der[Pk(x)] = k . m dir.
5) der[P(kx)] = m, k ¹ 0 dır.